Η ειδική και γενική Θεωρία της Σχετικότητας, μας έχουν προσφέρει πολλές πληροφορίες για το σύμπαν, το πως η βαρύτητα αλληλεπιδρά με τα σώματα, αλλά και πληροφορίες όπως η διαστολή του χρόνου (για την οποία μιλήσαμε στο Περί Ατόμων και Συμπάντων #2) και η συστολή του μήκους. Έτσι γενική και ειδική Σχετικότητα, αποτελούν την πεμπτουσία της σύγχρονης φυσικής, και τον κορμό για την μετέπειτα ιστορία της. Έτσι λοιπόν, θα κάνω μία προσπάθεια να εξηγήσω τα βασικά στοιχεία της γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας, και να αναλύσω με μαθηματικά τα κύρια σημεία της (μην ανησυχείς, θα το κάνω όσο πιο απλά μπορώ).
Αρχικά, θα πρέπει να ορίσουμε τι είναι ένα σύστημα αναφοράς. Ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι ένα σύστημα στο οποίο ισχύουν ο πρώτος και ο δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα (ΣF=0 και ΣF=ma αντίστοιχα), και έτσι ως εκ τούτου ισχύει και ο νόμος της αδράνειας. Ένα σύστημα αναφοράς , γενικά, θεωρείται ο χώρος ο οποίος κάθε φορά είναι ακίνητος κατά την μελέτη της κίνησης ενός σώματος. Αυτό που μας ενδιαφέρει στην γενική Σχετικότητα είναι ότι, τροποποιεί τη διάκριση μεταξύ των κατ' όνομα "αδρανειακών" και "μη αδρανειακών" αντικαθιστώντας την "επίπεδη" Ευκλείδια Γεωμετρία της ειδικής σχετικότητας με μια καμπύλη, μη Ευκλείδια μετρική. Στη γενική σχετικότητα, η αρχή της αδράνειας αντικαθίσταται με την αρχή της γεωδαισικής κίνησης, όπου τα αντικείμενα κινούνται με τον τρόπο που επιτάσσει η καμπύλωση του χωροχρόνου. Ως αποτέλεσμα αυτής της καμπύλωσης, δεν είναι δεδομένο στη γενική σχετικότητα ότι τα αδρανειακά αντικείμενα που κινούνται με έναν συγκεκριμένο ρυθμό το ένα ως προς το άλλο θα συνεχίσουν να κινούνται έτσι.
Αν έχουμε δύο σημεία Α και Β, και βρισκόμαστε σε δύο διαστάσεις (υπέθεσε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων x,y), ποιά είναι η πιό σύντομη διαδρομή για να φτάσεις από το Α στο Β; Φυσικά μία ευθεία γραμμή,η οποία φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Αρχικά, θα πρέπει να ορίσουμε τι είναι ένα σύστημα αναφοράς. Ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι ένα σύστημα στο οποίο ισχύουν ο πρώτος και ο δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα (ΣF=0 και ΣF=ma αντίστοιχα), και έτσι ως εκ τούτου ισχύει και ο νόμος της αδράνειας. Ένα σύστημα αναφοράς , γενικά, θεωρείται ο χώρος ο οποίος κάθε φορά είναι ακίνητος κατά την μελέτη της κίνησης ενός σώματος. Αυτό που μας ενδιαφέρει στην γενική Σχετικότητα είναι ότι, τροποποιεί τη διάκριση μεταξύ των κατ' όνομα "αδρανειακών" και "μη αδρανειακών" αντικαθιστώντας την "επίπεδη" Ευκλείδια Γεωμετρία της ειδικής σχετικότητας με μια καμπύλη, μη Ευκλείδια μετρική. Στη γενική σχετικότητα, η αρχή της αδράνειας αντικαθίσταται με την αρχή της γεωδαισικής κίνησης, όπου τα αντικείμενα κινούνται με τον τρόπο που επιτάσσει η καμπύλωση του χωροχρόνου. Ως αποτέλεσμα αυτής της καμπύλωσης, δεν είναι δεδομένο στη γενική σχετικότητα ότι τα αδρανειακά αντικείμενα που κινούνται με έναν συγκεκριμένο ρυθμό το ένα ως προς το άλλο θα συνεχίσουν να κινούνται έτσι.
Αν έχουμε δύο σημεία Α και Β, και βρισκόμαστε σε δύο διαστάσεις (υπέθεσε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων x,y), ποιά είναι η πιό σύντομη διαδρομή για να φτάσεις από το Α στο Β; Φυσικά μία ευθεία γραμμή,η οποία φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Τώρα, αν έχουμε δύο σημεία Α και Β και βρισκόμαστε σε τρείς διαστάσεις (x,y,z), ποιά είναι η πιό κοντινή απόσταση μεταξύ των δύο αυτών σημείων; Έδω πλέον δεν ισχύει ότι ίσχυε στις δύο διαστάσεις, δηλαδή μία ευθείνα γραμμη που ενώνει τα Α και Β, αλλα η πίο σύντομα διαδρομή αποτελεί η καμπυλωμένη διαδρομή που βρίσκεται στην γεωδεσιακή γραμμή των δύο σημείων. Η ελάχιστη απόσταση αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Μέχρι στιγμής ορίσαμε τι είναι σύστημα αναφοράς, και πως μετατρέπεται στην γενική Θεωρία της Σχετικότητας, και ένα από τα χαρακτηριστική του καμπυλωμένου χώρου.
Ένα ακόμη χαρακτιριστικό της καμπύλωσης του χώρου, αποτελεί η παράλληλη μετατόπιση ένος διανύσματος. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε δύο σημεία q και p, και είναι ενωμένα με μία γραμμή (όχι απαραίτητα ευθεία).
Ένα ακόμη χαρακτιριστικό της καμπύλωσης του χώρου, αποτελεί η παράλληλη μετατόπιση ένος διανύσματος. Αν υποθέσουμε ότι έχουμε δύο σημεία q και p, και είναι ενωμένα με μία γραμμή (όχι απαραίτητα ευθεία).
Αν από το q φέρω ένα διάνυσμα, και δεξιά του q φέρω διανύσματα τα οποία είναι παράλληλα και έχουν ίδια μέτρα με αυτό του q και καταλήξω στο p, φέροντας διάνυσμα το οποίο συνεχίζει να είναι παράλληλο με αυτό του q, τότε η επιφάνεια είναι δύο διαστάσεων, μη καμπυλωμένη. Ενώ αν φέρω, π.χ. σε έναν κώνο ανοιγμένο στις δύο διαστάσεις, ένα διάνυσμα, και το μετατοπίσω καταλήγοντας στην ίδια άκρητου κώνου, θα παρατηρήσω ότι η γωνία μεταξυ των δύο διανυσμάτων έχει αλλάξει, άρα δεν είναι πιά παράλληλα, άρα ο χώρος είναι καμπυλωμένος.
Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να καταλάβουμε αν ο χώρος είναι καμπυλωμένος ή όχι.
Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι είσαι στο κενό, χωρίς την επίδραση κανενός βαρυτικού πεδίου, και βρίσκεσαι μέσα σε ένα ασανσέρ, επιταχυνόμενος με επιτάχυνση g=10m/s2. Σύμφωνα με την Αρχη της Ισοδυναμίας, η αίσθηση που θα έχεις όταν είσαι στο κένο επιταχυνόμενος κατά g, είναι ακριβώς η ίδια με αυτήν που θα είχες αν βρισκόσουν στο έδαφος της Γης.
Επιπλέον, ας υποθέσουμε ότι είσαι στο κενό, χωρίς την επίδραση κανενός βαρυτικού πεδίου, και βρίσκεσαι μέσα σε ένα ασανσέρ, επιταχυνόμενος με επιτάχυνση g=10m/s2. Σύμφωνα με την Αρχη της Ισοδυναμίας, η αίσθηση που θα έχεις όταν είσαι στο κένο επιταχυνόμενος κατά g, είναι ακριβώς η ίδια με αυτήν που θα είχες αν βρισκόσουν στο έδαφος της Γης.
Έτσι, αν θέλαμε να ορίσουμε την Αρχή της Ισοδυναμίας, θα λέγαμε πως, η αρχή της ισοδυναμίας πρεσβεύει ότι η κίνηση ενός σώματος, όπως παρατηρείται από ένα μη αδρανειακό (επιταχυνόμενο) σύστημα αναφοράς, είναι η ίδια όπως και η κίνησή του σε ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, παρουσία όμως ενός (κατάλληλου) βαρυτικού πεδίου. Με άλλα λόγια, ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς είναι ισοδύναμο με ένα βαρυτικό πεδίο ορισμένης μορφής.
Με αφορμή, λοιπόν, από την Αρχή της Ισοδυναμίας, ανακαλύπτουμε μία από τις σημαντικότερες συνέπειές της, την καμπύλωση του φωτός. Ας υποθέσουμε, για ακόμα μία φορά, ότι βρίσκεσε μέσα σε ένα ασανσέρ και έχεις έναν φακό. Όταν ανάψεις τον φακό, το ασανσερ αρχίζει και επιταχύνεται προς τα πάνω με σταθερή ταχύτητα. Αν ακολουθήσουμε την διαδρομή του φωτός, και σύμφωνα με την εξίσωση του Νεύτωνα, h=1/2g(Δt)^2 , καταλήγουμε:
Με αφορμή, λοιπόν, από την Αρχή της Ισοδυναμίας, ανακαλύπτουμε μία από τις σημαντικότερες συνέπειές της, την καμπύλωση του φωτός. Ας υποθέσουμε, για ακόμα μία φορά, ότι βρίσκεσε μέσα σε ένα ασανσέρ και έχεις έναν φακό. Όταν ανάψεις τον φακό, το ασανσερ αρχίζει και επιταχύνεται προς τα πάνω με σταθερή ταχύτητα. Αν ακολουθήσουμε την διαδρομή του φωτός, και σύμφωνα με την εξίσωση του Νεύτωνα, h=1/2g(Δt)^2 , καταλήγουμε:
Έτσι, βλέπουμε πως ο παρατηρητής, ο οποίος βρίσκεται έξω από το ασανσέρ, βλέπει το φως να κινείται ευθεία, ενώ ο παρατηρητής, ο οποίος παρακολουθεί το πείραμα μέσα στο ασανσέρ, βλέπει το φως να καμπυλώνεται. Συμπέρασμα, μέσα σε ένα βαρυτικό πεδίο, το φως καμπυλώνεται (light bending).
Μπαίνοντας στην Θεωρία της Σχετικότητα, και τα μαθηματικά της, θα πρέπει να εισάγω την έννοια του τανυστή. Τανυστές (ή tensors) είναι γεωμετρικά αντικείμενα που μπορούν να θεωρηθούν ως γενικευμένα διανύσματα. Περιγράφουν γραμμικές σχέσεις ανάμεσα σε διανύσματα, βαθμωτά μεγέθη και άλλους τανυστές. Βασικά παραδείγματα τέτοιων σχέσεων περιλαμβάνουν το εσωτερικό γινόμενο, το εξωτερικό γινόμενο και οι γραμμικοί μετασχηματισμοί. Επιπλέον, οι τανυστές παρουσιάζουν μία σχέση ανάμεσα σε δύο διανύσματα, και είναι ανεξάρτητοι των συστημάτων αξόνων. Ειδικότερα, αν ένας τανυστης ειναι π.χ. 0 σε ένα σύστημα αξόνων, ειναι 0 σε όλα. Εμάς μας ενδιαφέρουν οι τανυστές δευτέρου βαθμού, οπότε δεν θα χρονοτριβίσω εξηγώντας τους υπόλοιπους.
Αρχικά, οι εξισώσεις της Γενική Θεωρίας της Σχετικότητας είναι:
Μπαίνοντας στην Θεωρία της Σχετικότητα, και τα μαθηματικά της, θα πρέπει να εισάγω την έννοια του τανυστή. Τανυστές (ή tensors) είναι γεωμετρικά αντικείμενα που μπορούν να θεωρηθούν ως γενικευμένα διανύσματα. Περιγράφουν γραμμικές σχέσεις ανάμεσα σε διανύσματα, βαθμωτά μεγέθη και άλλους τανυστές. Βασικά παραδείγματα τέτοιων σχέσεων περιλαμβάνουν το εσωτερικό γινόμενο, το εξωτερικό γινόμενο και οι γραμμικοί μετασχηματισμοί. Επιπλέον, οι τανυστές παρουσιάζουν μία σχέση ανάμεσα σε δύο διανύσματα, και είναι ανεξάρτητοι των συστημάτων αξόνων. Ειδικότερα, αν ένας τανυστης ειναι π.χ. 0 σε ένα σύστημα αξόνων, ειναι 0 σε όλα. Εμάς μας ενδιαφέρουν οι τανυστές δευτέρου βαθμού, οπότε δεν θα χρονοτριβίσω εξηγώντας τους υπόλοιπους.
Αρχικά, οι εξισώσεις της Γενική Θεωρίας της Σχετικότητας είναι:
Ενώ εσύ μπορεί να βλέπεις μία μόνο εξίσωση, στην πραγματικότητα κρύβονται από πίσω 10 εξισώσεις, οι οποίες περιγράφουν τις θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις της βαρύτητας ως αποτέλεσμα της του χωροχρόνο, ο οποίος καμπυλώνεται.
Αν ορίζαμε τον χωροχρόνο, θα λέγαμε πως, ο χωροχρόνος ή χωροχρονικό συνεχές είναι το μαθηματικό μοντέλο που ενώνει τον χώρο και τον χρόνο σε μία συνέχεια. Ο χωροχρόνος συνήθως ερμηνεύεται ως συνδυασμός του ευκλείδειου χώρου τριών διαστάσεων με τον χρόνο ως μια επιπρόσθετη διάσταση, οπότε προκύπτει ένα πολύπτυχο μόρφωμα (manifold) τεσσάρων διαστάσεων. Η τέταρτη διάσταση, αυτή του χρόνου, είναι διαφορετική από τις άλλες τρεις που αφορούν μήκος στον ευκλείδειο χώρο.
Αν αρχίζουμε από αριστερά, παρατηρούμε συνεχόμενους τανυστές. Αρχικα ο Rμν, ο οποίος είναι ο τανυστής καμπυλότητας του χώρου Ricci. Παρατηρούμε επίσης τον όρο R, ο οποίος συμβολίζει την βαθμωτή καμπυλότητα, ο τανυστής gμν, ο οποίος είναι ο μετρικός τανυστής και το Λ, το οποίο είναι η κοσμολογική σταθερά. Από την δεξιά πλευρά, παρατηρούμε το γνωστό σε όλους μας π, την παγκόσμια σταθερά έλξης του Νεύτωνα G, την σταθερά c, η οποία είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό, και ο τανυστής Tμν, ο οποίος είνα υπέυθυνος για την ορμή και την ενέργεια. Οι δύο πρώτοι όροι στο αριστερό κομμάτι των εξισώσεων, αναφέρονται στον τανυστη του Αϊνστάιν Gμν, δηλαδή:
Αν ορίζαμε τον χωροχρόνο, θα λέγαμε πως, ο χωροχρόνος ή χωροχρονικό συνεχές είναι το μαθηματικό μοντέλο που ενώνει τον χώρο και τον χρόνο σε μία συνέχεια. Ο χωροχρόνος συνήθως ερμηνεύεται ως συνδυασμός του ευκλείδειου χώρου τριών διαστάσεων με τον χρόνο ως μια επιπρόσθετη διάσταση, οπότε προκύπτει ένα πολύπτυχο μόρφωμα (manifold) τεσσάρων διαστάσεων. Η τέταρτη διάσταση, αυτή του χρόνου, είναι διαφορετική από τις άλλες τρεις που αφορούν μήκος στον ευκλείδειο χώρο.
Αν αρχίζουμε από αριστερά, παρατηρούμε συνεχόμενους τανυστές. Αρχικα ο Rμν, ο οποίος είναι ο τανυστής καμπυλότητας του χώρου Ricci. Παρατηρούμε επίσης τον όρο R, ο οποίος συμβολίζει την βαθμωτή καμπυλότητα, ο τανυστής gμν, ο οποίος είναι ο μετρικός τανυστής και το Λ, το οποίο είναι η κοσμολογική σταθερά. Από την δεξιά πλευρά, παρατηρούμε το γνωστό σε όλους μας π, την παγκόσμια σταθερά έλξης του Νεύτωνα G, την σταθερά c, η οποία είναι η ταχύτητα του φωτός στο κενό, και ο τανυστής Tμν, ο οποίος είνα υπέυθυνος για την ορμή και την ενέργεια. Οι δύο πρώτοι όροι στο αριστερό κομμάτι των εξισώσεων, αναφέρονται στον τανυστη του Αϊνστάιν Gμν, δηλαδή:
Αρχικά, ξεκινώντας από τον μετρικό τανυστή gμν, είναι ένας συμμετρικός τανυστής 2ης τάξης (rank) που χρησιμοποιείται για την μέτρηση αποστάσεων σε έναν χώρο (space). Είναι ένας τύπος συνάρτησης, ο οποίος αποτελείται από δύο εφαπτόμενα διανύσματα σε μία επιφάνεια και εμφανίζει ένα πραγματικό βαθμωτό αριθμό.Επιπλέον, οι μετρικόι τανυστές, χρησιμοποιούνται για να βρίσκουμε την γωνλια δύο εφαπτόμενων διανυσμάτων.Προκύπτει με βασικά μαθηματικά, και ισούται με: δmn*Σdxm/dyr *dxn/dys , όπου δmn, το δέλτα του Κρόνεκερ, το οποίο μπορεί να πάρει τιμές 0 αν m=n ή 1 αν m≠n. Παράδειγμα του μετρικού τανυστή αποτελεί το Πυθαγώρειο Θεώρημα. Σε δύο διαστάσεις, ο μετρικός τανυστής υποβαθμίζεται και παίρνει την τιμή, gμν=δmn, άρα θα είναι 1 για m=n και 0 για m≠n. Άρα γίνεται:
ds^2 = dx1^2 + dx2^2
Σε μία σφαίρα όμως, ο τύπος αυτός δεν ισχύει για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το οποίο βρίσκεται στην επιφάνεια της σφαίρας. Εδώ έρχεται ο μετρικός τανυστής και διορθώνει κατά κάποιον τρόπο τον Πυθαγώρα, όταν δηλαδή δεν είμαστε σε δύο διαστάσεις, αλλά σε καμπυλομένο χώρο.
Συνεχίζοντας με τον τανυστή Ricci Rμν, ο τανυστής Ricci αποτελεί μέτρο της καμπυλότητας του χωροχρόνου, παράγεται με κατάλληλο συνδυασμό του μετρικού τανυστή gμν, και των δεύτερων παραγώγων τού ως προς τις χωροχρονικές συντεταγμένες. Ο Τανυστής Ricci εξαρτάται έμμεσα από το Σύμβολο Christoffel και επομένως έμμεσα από τον μετρικό τανυστή.Αυτό έχει μεγάλη σημασία καθόσον με την σειρά του και ο περίφημος τανυστής Einstein μπορεί να ορισθεί εκφραζόμενος μόνον από τον μετρικό τανυστή. Η φυσική σημασία του τανυστή Ricci:
Επιπρόσθετα, ο όρος R, με τον οποίο συμβολίζουμε την βαθμωτή καμπυλότητα, αποτελεί την απλή καμπύλωση, η οποία ειναι αμετάβλητη του πολύπτυχου μορφώματος (manifold) του Riemann. Σε κάθε σημεία του Riemann manifold, εκφράζει έναν πραγματικό αριθμό, ο οποίος εξαρτιέται από την γεωμετρία του χώρου, γύρω από το σημείο.
Ακόμη, η κοσμολογική σταθερά Λ, προτάθηκε από τον Άλμπερτ Αϊνστάιν ως μια τροποποίηση της αρχικής του θεωρίας της γενικής σχετικότητας ώστε να επιτύχει ένα στατικό σύμπαν. Η κοσμολογική σταθερά έχει την ίδια επίδραση που θα είχε μια ενδογενής ενεργειακή πυκνότητα του κενού, ρκενού. Στα πλαίσια αυτά ορίζεται συχνά με έναν παράγοντα αναλογίας 8π: Λ = 8πρκενού, όπου ακολουθούνται οι σύγχρονες συμβάσεις μονάδων μέτρησης της γενικής σχετικότητας (διαφορετικά εμφανίζονται επίσης παράγοντες G και c). Είναι συνηθισμένο να αναφέρονται απευθείας οι τιμές της ενεργειακής πυκνότητας, μολονότι αναφέρεται κανείς ονομαστικά σε "κοσμολογική σταθερά".
Επιπλέον, ένας σημαντικός τανυστής είναι ο Tμν, ο οποίος είναι υπεύθυνος για την ορμή και την ενέργεια. Περιγράφει την πυκνότητα και την ροή της ενέργειας και της ορμής στον χώρο. Δεν επιμένω στα μαθηματικά, καθώς η έκταση με πιέζει, και σαφώς το επιπέδο ανεβαίνει.
Παράλληλα, να εξηγήσω καλύτερα, γιατί μιλάω για εξισώσεις, και όχι εξίσωση της Γενικής Σχετικότητας. Οι δείκτες μ,ν παίρνουν τιμές 0,1,2,3 αντιστοιχα. Για την διάσταση του χρόνου, έχουμε μ,ν=0. Για την x διασταση, έχουμε μ,ν=1. Για την y διάσταση έχουμε μ,ν,=2. Για την z διάσταση έχουμε μ,ν=3. Έτσι, έχουμε πιθανές λύσεις της εξίσωσης, π.χ. για μ=0 και ν=1, ή για μ=0 και ν =3. Έτσι μετά τις απλουστεύσεις καταλήγουμε να έχουμε 10 εξισώσεις.
Το αριστερό μέρος, λοιπόν, αποτελεί το κομμάτι, το οποίο περιγράφει την καμπύλωση του χωροχρόνου, ενώ το αριστερό κομμάτι, περιγράφει την ενέργεια και την ορμή, τα οποία συνδέονται με τον χωροχρόνο και την βαρύτητα.
Η θεωρία της Γενικής Σχετικότητας, λοιπόν, έθεσε τις βάσεις για την εξέλιξη της σύγχρονης φυσικής και ανέτρεψε τις αντιλήψεις που είχαμε για την βαρύτητα. Πρέπει αν γνωρίζουμε πως, ο Αϊνστάιν καταρριπτει τον Νεύτωνα μόνο σε ακραίες περιπτώσεις, τύπου μελανών οπών ή διπλών συστημάτων αστέρων, ενώ χρησιμοποιήται ακόμα η Μηχανική του Νεύτωνα. Η γενική σχετικότητα είναι πλούσια με δυνατότητες για περαιτέρω διερεύνησης. Μαθηματικοί σχετικιστές προσπαθούν να κατανοήσουν τη φύση των ανωμαλιών και τις θεμελιώδεις ιδιότητες των εξισώσεων του Αϊνστάιν, και τρέχουν όλο και πιο ισχυρές προσομοιώσεις σε ηλεκτρονικό υπολογιστή (όπως αυτές που περιγράφουν τη συγχώνευση μαύρες τρύπες). Ο αγώνας για την πρώτη άμεση ανίχνευση των βαρυτικών κυμάτων συνεχίζεται, με την ελπίδα της δημιουργίας ευκαιριών για τη δοκιμή ισχύος της θεωρίας για πολύ ισχυρότερα βαρυτικά πεδία από ό,τι ήταν δυνατόν μέχρι σήμερα. Περισσότερα από εκατό χρόνια μετά (το 2015 γιορτάστηκε ο εκατοστός χρόνος της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας) τη δημοσίευσή της, η γενική σχετικότητα παραμένει ένα εξαιρετικά ενεργός τομέας της έρευνας.
Συνεχίζοντας με τον τανυστή Ricci Rμν, ο τανυστής Ricci αποτελεί μέτρο της καμπυλότητας του χωροχρόνου, παράγεται με κατάλληλο συνδυασμό του μετρικού τανυστή gμν, και των δεύτερων παραγώγων τού ως προς τις χωροχρονικές συντεταγμένες. Ο Τανυστής Ricci εξαρτάται έμμεσα από το Σύμβολο Christoffel και επομένως έμμεσα από τον μετρικό τανυστή.Αυτό έχει μεγάλη σημασία καθόσον με την σειρά του και ο περίφημος τανυστής Einstein μπορεί να ορισθεί εκφραζόμενος μόνον από τον μετρικό τανυστή. Η φυσική σημασία του τανυστή Ricci:
- Με τον μηδενισμό του τανυστή Riemann Rαβµν = 0, σημαίνει πως ο χώρος είναι επίπεδος, ενώ με τον μηδενισμό του τανυστή Ricci Rµν = 0, σημαίνει πως ο χώρος είναι κενός. Επομένως η εξίσωση Rµν = 0, δεν σημαίνει πως η χώρος δεν είναι καμπυλομένος.
Επιπρόσθετα, ο όρος R, με τον οποίο συμβολίζουμε την βαθμωτή καμπυλότητα, αποτελεί την απλή καμπύλωση, η οποία ειναι αμετάβλητη του πολύπτυχου μορφώματος (manifold) του Riemann. Σε κάθε σημεία του Riemann manifold, εκφράζει έναν πραγματικό αριθμό, ο οποίος εξαρτιέται από την γεωμετρία του χώρου, γύρω από το σημείο.
Ακόμη, η κοσμολογική σταθερά Λ, προτάθηκε από τον Άλμπερτ Αϊνστάιν ως μια τροποποίηση της αρχικής του θεωρίας της γενικής σχετικότητας ώστε να επιτύχει ένα στατικό σύμπαν. Η κοσμολογική σταθερά έχει την ίδια επίδραση που θα είχε μια ενδογενής ενεργειακή πυκνότητα του κενού, ρκενού. Στα πλαίσια αυτά ορίζεται συχνά με έναν παράγοντα αναλογίας 8π: Λ = 8πρκενού, όπου ακολουθούνται οι σύγχρονες συμβάσεις μονάδων μέτρησης της γενικής σχετικότητας (διαφορετικά εμφανίζονται επίσης παράγοντες G και c). Είναι συνηθισμένο να αναφέρονται απευθείας οι τιμές της ενεργειακής πυκνότητας, μολονότι αναφέρεται κανείς ονομαστικά σε "κοσμολογική σταθερά".
Επιπλέον, ένας σημαντικός τανυστής είναι ο Tμν, ο οποίος είναι υπεύθυνος για την ορμή και την ενέργεια. Περιγράφει την πυκνότητα και την ροή της ενέργειας και της ορμής στον χώρο. Δεν επιμένω στα μαθηματικά, καθώς η έκταση με πιέζει, και σαφώς το επιπέδο ανεβαίνει.
Παράλληλα, να εξηγήσω καλύτερα, γιατί μιλάω για εξισώσεις, και όχι εξίσωση της Γενικής Σχετικότητας. Οι δείκτες μ,ν παίρνουν τιμές 0,1,2,3 αντιστοιχα. Για την διάσταση του χρόνου, έχουμε μ,ν=0. Για την x διασταση, έχουμε μ,ν=1. Για την y διάσταση έχουμε μ,ν,=2. Για την z διάσταση έχουμε μ,ν=3. Έτσι, έχουμε πιθανές λύσεις της εξίσωσης, π.χ. για μ=0 και ν=1, ή για μ=0 και ν =3. Έτσι μετά τις απλουστεύσεις καταλήγουμε να έχουμε 10 εξισώσεις.
Το αριστερό μέρος, λοιπόν, αποτελεί το κομμάτι, το οποίο περιγράφει την καμπύλωση του χωροχρόνου, ενώ το αριστερό κομμάτι, περιγράφει την ενέργεια και την ορμή, τα οποία συνδέονται με τον χωροχρόνο και την βαρύτητα.
Η θεωρία της Γενικής Σχετικότητας, λοιπόν, έθεσε τις βάσεις για την εξέλιξη της σύγχρονης φυσικής και ανέτρεψε τις αντιλήψεις που είχαμε για την βαρύτητα. Πρέπει αν γνωρίζουμε πως, ο Αϊνστάιν καταρριπτει τον Νεύτωνα μόνο σε ακραίες περιπτώσεις, τύπου μελανών οπών ή διπλών συστημάτων αστέρων, ενώ χρησιμοποιήται ακόμα η Μηχανική του Νεύτωνα. Η γενική σχετικότητα είναι πλούσια με δυνατότητες για περαιτέρω διερεύνησης. Μαθηματικοί σχετικιστές προσπαθούν να κατανοήσουν τη φύση των ανωμαλιών και τις θεμελιώδεις ιδιότητες των εξισώσεων του Αϊνστάιν, και τρέχουν όλο και πιο ισχυρές προσομοιώσεις σε ηλεκτρονικό υπολογιστή (όπως αυτές που περιγράφουν τη συγχώνευση μαύρες τρύπες). Ο αγώνας για την πρώτη άμεση ανίχνευση των βαρυτικών κυμάτων συνεχίζεται, με την ελπίδα της δημιουργίας ευκαιριών για τη δοκιμή ισχύος της θεωρίας για πολύ ισχυρότερα βαρυτικά πεδία από ό,τι ήταν δυνατόν μέχρι σήμερα. Περισσότερα από εκατό χρόνια μετά (το 2015 γιορτάστηκε ο εκατοστός χρόνος της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας) τη δημοσίευσή της, η γενική σχετικότητα παραμένει ένα εξαιρετικά ενεργός τομέας της έρευνας.